2013年湖南選調(diào)生行測輔導(dǎo)：集合容斥問題
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數(shù)學(xué)運(yùn)算中的集合問題，也稱容斥原理是近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的題型，考生應(yīng)將其作為典型題目加以掌握。解決容斥原理的題目，方法是關(guān)鍵。此類題型主要包括兩集合問題和三集合問題，并且近幾年常出現(xiàn)的容斥問題基本都是涉及三集合的，就針對三集合的題目進(jìn)行匯總。
三集合容斥問題主要有以下三種題型：
1、三集合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式
2、三集合圖示標(biāo)數(shù)型(文氏圖或者叫做韋恩圖法)
a.特別注意“滿足某條件”和“只滿足某條件”的區(qū)別;
b.特別注意有沒有“三個條件都不滿足的情形”;
3、三集合整體重復(fù)型核心公式
三集合容斥問題中，有些條件未知時(shí)，就不能直接使用標(biāo)準(zhǔn)型公式，而是運(yùn)用整體重復(fù)型公式同樣可以解答。特別當(dāng)題目中說明分別滿足一種、兩種、三種條件的個數(shù)時(shí)，使用整體重復(fù)型公式。并且，三集合整體重復(fù)型公式是現(xiàn)在國家公務(wù)員考試考查三集合容斥問題的重點(diǎn)。另外，可利用尾數(shù)法進(jìn)行快速求解。
原理：在三集合題型中，假設(shè)滿足三個條件的元素?cái)?shù)量分別時(shí)A、B和C，而至少滿足三個條件之一的元素的總量為W。其中，滿足一個條件的元素?cái)?shù)量為x，滿足兩個條件的元素?cái)?shù)量為y，滿足三個條件的元素?cái)?shù)量為z，根據(jù)右圖可以得到下滿兩個等式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
通過幾個例題闡述三集合容斥的相關(guān)內(nèi)容：
【例1】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有( )。
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
【解析】設(shè)A=喜歡看球賽的人58，B=喜歡看戲劇的人38，C=喜歡看電影的人52，則有：
A∩B=既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人18
B∩C=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人16
A∩B∩C=三種都喜歡看的人12
A∪B∪C=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種100
由集合運(yùn)算公式可知：C∩A = A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)
=148-(100+18+16-12)=26
所以，只喜歡看電影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C
=52-16-26+12=22
注：這道題運(yùn)用公式運(yùn)算比較復(fù)雜，運(yùn)用文氏畫圖法我們很快就可以看出結(jié)果。文氏解法如下：
由題意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100， 解得 x=14; 則只喜歡看電影的人有 36-x=22。
【例2】外語學(xué)校有英語、法語、日語教師共27人，其中只能教英語的有8人，只能教日語的有6人，能教英、日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，三種都能教的有2人，則只能教法語的有( )。
A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
解析：首先采用公式法解決此題，設(shè)A=英語教師8+5+4-2=15，B=法語教師，C=日語教師6+5+3-2=12,(但應(yīng)注意的是在做題之前，我們首先必須了解公式中A，B,C三個集合所代表的含義，并非A=8,C=6.),則C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
=27-15-12+5+3+4-2=10，那么只能教法語的教師=10-3-4+2=5
另外，此題如果用韋恩圖法會相當(dāng)簡單，設(shè)只能教法語的人數(shù)為X,則依題意得韋恩圖(見下圖)：
由題意我們有 27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。
【例3】某高校對一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?( )
A.120 B.144 C.177 D.192
【解析】根據(jù)題意，分別已知兩種條件、三種條件都滿足的個數(shù)，設(shè)所有準(zhǔn)備參加考試的學(xué)生人數(shù)為W，只準(zhǔn)備參加一門考試的學(xué)生人數(shù)為X。使用三集合整體重復(fù)型公式：
W=X+46+24
63+89+47=X+2×46+3×24
根據(jù)尾數(shù)法，解得x尾數(shù)是5，W尾數(shù)是5。因此，學(xué)生總數(shù)=W+15，尾數(shù)為0，選A。
【例4】某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格。則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種?( )
A. 37 B. 36 C. 35 D. 34
【解析】根據(jù)題意，分別已知滿足一種條件、兩種條件的個數(shù)，設(shè)一項(xiàng)不合格的為X,所有不合格產(chǎn)品為W。使用三集合整體重復(fù)型公式：
W=X+7+1
8+9+10=X+2×7+3×1
根據(jù)尾數(shù)法，解得X尾數(shù)為0，W尾數(shù)為8。 因此，全合格的產(chǎn)品數(shù)=總數(shù)-W = 52-W，尾數(shù)為4，選D。
通過列舉的幾個三集合例題可以發(fā)現(xiàn)，對于容斥問題首先判斷題型，是三集合元素已知的題目，還是三集合整體重復(fù)型題目。三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式和整體重復(fù)型公式的適用情況是不同的：標(biāo)準(zhǔn)型公式適用于各項(xiàng)條件都明確給出的情況，而整體重復(fù)型公式適用于分別給出滿足一種、兩種、三種條件的個數(shù)，因?yàn)檫@三者之間沒有任何包含關(guān)系。區(qū)分好兩種情形，特別是整體重復(fù)型公式，三集合容斥問題就迎刃而解了。
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