結構工程師基礎科目（二）輔導：三鉸拱和三鉸剛架

　　七、三鉸拱和三鉸剛架的內力計算

　　圖2―6(a)所示由曲桿組成的結構在豎向荷載作用下將產生水平反力，這種結構稱為 拱形結構。而圖2―6(b)所示的結構，在豎向荷載作用下其水平支座反力等于零，這種結 構稱為曲梁。圖2―6(c)所示為兩個曲桿由三個不共線的鉸與地基兩兩相連的三鉸拱，它 是工程中常用的靜定拱形結構，由于它的支座產生水平推力，基礎應具有相應的抗力，故 有時做成圖2―6(d)所示的拉桿拱，水平推力由拉桿來承擔。

三鉸拱由于存在水平推力，故拱軸截面中的彎矩比相同跨度相同荷載的簡支梁的彎矩要小，使拱成為主要是承受壓力的結構，可采用受壓性能強而受拉性能差的材料建造。與簡支梁相比，拱形結構可以跨越更大的跨度。

    三鉸拱的有關術語表示在圖2―6（c）中，工程中常用的矢跨比f／l=0.5～1，常用的拱軸方程有二次拋物線，圓弧線，懸鏈曲線等。

    (一)三鉸平拱在豎向荷載作用下的支座反力及內力計算

    拱腳鉸在同一水平線上的三鉸拱稱為三鉸平拱。

    支座反力

    由圖2―7(a)所示三鉸拱的整體平衡條件及頂鉸C處彎矩為零的條件，可得支座反力的計算公式為

    V_A＝V_A⁰                                                                                  (2―1)

    V_B＝V_B⁰                                                                                  (2―2)

H_A＝H_B＝H＝M_C⁰ ／f                                                                (2―3)

    式中V_A⁰、V_B⁰、M_C⁰分別為與三鉸拱相同跨度、相同荷載簡支梁(簡稱為三鉸拱的代    梁，圖2―7b)支座A、B處的支座反力及截面C的彎矩。

    式(2―3)表明，在給定的豎向荷載作用下，三鉸拱的水平推力只與三個鉸的位置有關，而與拱軸線的形狀無關。當荷載與拱跨不變時，推力H與矢高f成反比，f愈大即拱愈高時H愈小，f愈小即拱愈平時H愈大。若f＝0，則H為無窮大，這時三鉸已共線，體系為瞬變體系。

取圖2―7c所示的隔離體，并由隔離體的平衡條件，可得任意截面D的彎矩、剪力、軸力計算公式為

    M_D＝M_D⁰―Hy_D                                                                           (2―4)

    V_D＝V_D⁰cosφ_D－Hsinφ_D                                                              (2―5)

    N_D＝V_D⁰sinφ_D＋Hcosφ_D                                                              (2―6)

    式中M_D、V_D、N_D的正方向如圖2―7c所示，M_D⁰、V_D⁰為代梁D截面的彎矩、剪力，y_D、φ_D的含意如圖2―7a所示。在圖示坐標系中，φ_D在左半拱內為正，在右半拱內為負。

    三鉸拱的內力計算，除上述數解法外，還可用圖解法進行，可通過繪制三鉸拱的力多    邊形及壓力線(索多邊形)來確定其內力。

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(二)三鉸拱的合理拱軸

    在某種固定荷載作用下，拱的所有截面的彎矩均為零的軸線稱為合理拱軸。

三鉸拱在豎向荷載作用下合理拱軸的一般表達式，可根據合理拱軸的定義，令式 (2―4)等于零，得合理拱軸方程為

    y＝M⁰／H                                                                            (2―7)

      圖2―8a所示三鉸拱承受滿跨均布荷載q作用，其具體的合理拱軸方程可按式(2－7)推導如下：

    按圖2―8a所示坐標系，將代梁(圖2―8b)的彎矩方程

    M⁰＝qx（l－x）／2                                                     

及拱的水平推力

    H＝M_C⁰／f＝ql²／8f

代人式(2―7)得拱的合理拱軸方程為

    y＝4fx（l－x）／l²                                                                     (2―8)

    順便指出，三鉸拱在滿跨填料重量作用下的合理拱軸為懸鏈曲線；在徑向均布荷載作用下的合理拱軸為圓弧線。

    (三)三鉸剛架的內力計算

    分析圖2―9a所示的三鉸剛架，繪制其彎矩、剪力、軸力圖。

    1．計算支座反力

    計算三鉸剛架的支座反力與三鉸拱是類似的，除了應用三個整體平衡條件外，還需要利用鉸C處彎矩等于零的條件。經計算得

H_A＝1.33qa；V_A＝24qa

    H_B＝13.33qa；V_B＝46qa

    2．計算各桿端截面內力并繪制內力圖

    支座反力求出后，各桿端截面內力計算及各內力圖的繪制方法，與前述簡支剛架的方    法都是相同的，得出的M、V、N圖，分別如圖2－9b、c、d所示。